Krümmungsverhalten und Wendepunkt

Schlagwörter: Wendestelle, Krümmungsverhalten Ableitung, 2. Ableitung, zweite Ableitung, f-2-Strich, f‘‘, Kurvendiskussion, Kurvenuntersuchung, ruckfrei,

Neben dem Steigungsverhalten von Funktionsgraphen, ist ihr Krümmungsverhalten ein weiteres wichtiges Merkmal.

Der Motorradfahrer durchfährt in Fahrtrichtung eine Rechts- und eine Linkskurve. Es muss also einen Punkt geben, an dem die Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht. Diesen Punkt nennen wir Wendepunkt.

Der Wendepunkt ist in der folgenden Animation gut zu erkennen. Auch ohne die Straße könnten wir an der Neigung des Motorradfahrers erkennen, wie die Straße weiter verläuft.

An der Neigung des Motorradfahrers können wir den Straßenverlauf erkennen.

Welche mathematischen Eigenschaften beschreiben die Krümmung der Kurve? Wie können wir eine Links- und eine Rechtskurve erkennen?

Um das zu überprüfen, zeichnen wir den Graphen des Straßenverlaufs und seine Ableitung in ein gemeinsames Koordinatensystem.

Kurvenverhalten und Mathematik

Wir übertragen die Straßenführung in einen Funktionsgraphen f und stellen f und f‘ in einem gemeinsamen Diagramm dar.

Wir erkennen:

*Ob die Bedingungen immer ausreichen, überprüfen wir später.

Wir wissen, dass die Ableitung einer Funktion die Steigung beschreibt. Ist die Ableitung größer als Null, dann steigt der Graph. Ist die Ableitung kleiner als Null, dann fällt der Graph. Das können wir auch auf den Graphen der Ableitung, also auf f‘ übertragen.

Die Ableitung von f‘ ist f‘‘.

f‘‘ nennen wir die Ableitung von f‘ bzw. die 2. Ableitung von f.

Die 2. Ableitung

Der grüne Graph zeigt die 2. Ableitung (f‘‘) von f.

  • Wenn f‘‘ kleiner als Null ist, dann ist f‘ streng monoton fallend. f ist rechtsgekrümmt.
  • Wenn f‘‘ größer als Null ist, dann ist f‘ streng monoton steigend. f ist linksgekrümmt.
  • Wenn f‘‘ gleich Null ist, dann kann an dieser Stelle ein Wendepunkt existieren. (ob das immer zutrifft, untersuchen wir später.)

Das Vorzeichen von f‘‘ gibt Auskunft über die Krümmung.

Geogebra- Motorrad – Neigung in der Kurve

Die folgende Animation zeigt das Krümmungsverhalten in einer Kurvenfahrt. Der Pfeil zeigt die Richtung und die Stärke der Krümmung an. Bezogen auf das Beispiel Motorrad könnte der Pfeil als Maß für die Schräglage des Motorrads interpretiert werden. 

Krümmungskriterium

Wenn die Funktion von f im betrachteten Intervall zweimal differenzierbar ist, dann ist f

  • rechtsgekrümmt, wenn f‘‘(x)<0
  • linksgekrümmt, wenn f“(x) >0

 

weiterführende Inhalte:

  • Wendepunkt
  • notwendige und hinreichende Bedingung
  • Trassierung