Differenzierbarkeit

Schlagwörter: Differenzierbar, Ableitung Analysis, beidseitiger Grenzwert

Wann ist eine Funktion differenzierbar?

Die Differenzierbarkeit einer Funktion wird stets in einem Intervall oder an einer Stelle im Definitionsbereich angegeben.

Es gilt: Eine Funktion f ist an einer Stelle x0 differenzierbar, wenn der beidseitige Grenzwert an dieser Stelle existiert und gleich ist.

{\large \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{f({{x}_{0}}\,+h)\,-\,f({{x}_{0}})}{h}\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{f({{x}_{0}}\,-h)\,-\,f({{x}_{0}})}{h}}

Am besten wird das an zwei Beispielen deutlich.

01 differenzierbar bei x0

Bild 01 zeigt, dass die Tangenten an f, die sich von links und rechts nähern, gegen eine gemeinsame Tangente streben. Die links- und rechtsseitigen Grenzwerte sind gleich. Die Funktion f ist an der Stelle x0 differenzierbar.

02 nicht differenzierbar bei x0

Bild 02 zeigt, dass die Tangenten an f, die sich von links und rechts nähern, an der Stelle x0 verschieden sind. Die links- und rechtsseitigen Grenzwerte sind nicht gleich. Die Funktion f ist an der Stelle x0 nicht differenzierbar.

GeoGebra

In der folgenden Animation könnt ihr einen Punkt auf dem Graphen von f auswählen. h bzw. der Abstand zu x0 ist über den Schieberegler wählbar. Verkleinere h und vergleiche die Steigungen der Tangenten miteinander.

Die Überprüfung der Differenzierbarkeit wird erst in der Kursstufe von Interesse sein. Ganzrationale Funktionen sind stets über den gesamten Definitionsbereich differenzierbar.

Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen:

  1. die Betragsfunktion
  2. die SIGNUM- Funktion
  3. Funktionen mit Definitionslücken
  4. abschnittsweise definierte Funktionen
03 Betragsfunktion
04 SIGNUM Funktion
05 spez. Potenzfunktion