Extremwertaufgaben

Schlagwörter: Extremwertaufgaben, Optimierung, Analysis

Im Folgenden soll es um den sicher schönsten und spannendsten Teil der Analysis gehen, die Extremwertaufgaben. Bei Extremwertaufgaben geht es i.d.R. darum, eine Optimierung für ein gesuchtes Problem zu finden. Das wird sicher an ein paar Beispielen deutlich.

 Was haben die drei Pakete gemeinsam?

Alle drei Pakete umschließen das gleiche Volumen von 24.000 cm3 bzw. 24 l.

Die Pakete haben aber unterschiedliche Maße.

Für welches Paket wird sich der Versender von Kleinteilen entscheiden? Welche Kriterien beeinflussen die Auswahl des Paketes?

Kriterien zur Auswahl:

  1. Die Ware muss in das Paket / die Verpackung passen.
  2. Die Verpackung sollte so günstig wie möglich sein.

Punkt 1 gibt sicher den entscheidenden  Einfluss. Wenn ich Poster oder Metallplatten versende, dann ist ein würfelförmiges Paket wenig sinnvoll. Hier handelt es sich aber um einen Kleinteileversand. Die äußere Form sollte hier nachrangig sein. Damit kommen wir zum Punkt 2, den Kosten. Es sollte bei gleichem Volumen möglichst wenig Verpackungsmaterial benötigt werden.

Wenn also die äußere Form keine Priorität hat, dann müssen wir uns Punkt 2, der günstigsten Verpackung, zuwenden. Da diese Aufgabe etwas komplexer ist, werden wir sie etwas später betrachten und hier mit einem einfachen Beispiel beginnen.

Beispiele:

  1. größter Claim 
  2. Kantengerüst 
  3. ideale Verpackung 
  4. weitere Anregungen 

Beispiel 1 – rechteckiger Claim

Am Stadtrand von Dawson-City/Yukon möchte Trapper John sein neues Claim abstecken. Die Größe des Claims wird durch die Länge des Zauns (200 m) limitiert, den John bei der Ersteigerung des Claims bekommen hat. Er hat für die Rolle Zaundraht 40 $ bezahlt.

Da John für seine Versorgung mit frischem Wasser und das Goldwaschen Wasser benötigt, beschließt er sein Claim am Stadtrand von Dawson, am Nordufer des Klondike Rivers abzustecken. Dabei spart er auch noch Zaun, da er die Wasserseite nicht einzäunen muss.

John möchte natürlich ein möglichst großes Claim abstecken. Wie muss er die Maße seines rechteckigen Claims wählen, damit die Fläche möglichst groß wird?

GeoGebra

Ändere in der Animation die Länge der Grundseite. Beachte, wie sich die anderen Seiten ändern.

Ansatz zur rechnerischen Lösung

Der Ansatz zu Extremwertaufgaben kann i.d.R. einheitlich erfolgen. Dabei sind stets folgende Punkte zu bearbeiten:

  1. Aufstellen der Hauptbedingung (Was soll optimiert werden?)
  2. Aufstellen der Nebenbedingung(en)
  3. Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Hauptbedingung und Finden der Zielfunktion
  4.  Extremwert der Zielfunktion finden, Ergebnis formulieren

 

  • Aufstellen der Hauptbedingung (HB):

Die Fläche des Claims soll möglichst groß sein. 

A(a, b) = a·b

  • Aufstellen der Nebenbedingungen (NB):

Der Teilumfang (drei Seiten) des Rechtecks betrage 200 m.

NB 1:     200 m = a+2b

                a = 200 m-2b

Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Hauptbedingung.

{\large\displaystyle \begin{array}{l}A(a,b)=a\cdot b\\A(b)\,\,\,\,\,\,=\,\left( 200-2b \right)\cdot b\\A(b)\,\,\,\,\,\,=\,200b-2{{b}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{Zielfunktion}\end{array}}

Mit der Zielfunktion haben wir eine Funktion erhalten, in der wir den Flächeninhalt des Claims in Abhängigkeit von nur einer Variablen darstellen können. Wir suchen also die Länge (b), bei der der Flächeninhalt maximal wird. Dazu bilden wir die erste Ableitung.

{\large \displaystyle \begin{array}{l}A(b)\,\,\,\,\,\,=\,200b-2{{b}^{2}}\\A'(b)\,\,\,\,\,\,=\,200-4b\\\\\text{NST}\,\,\text{der}\,\,\text{1}\text{.}\,\text{Ableitung:}\\0=200-4b\\{{b}_{0}}=50\end{array} }

Wir sehen, dass für b=50 m das Claim von John einen Extremwert annimmt. Für die zweite Ableitung gilt: A‘‘(b)=-4. Damit hat unsere Zielfunktion bei b=50 ein Maximum.

Aus der NB können wir nun die Länge der Seite a bestimmen.

a=100 m.

Das rechteckige Claim hat unter den gegebenen Voraussetzungen bei den Seitenlängen 100 m parallel zum Fluss und 50 m orthogonal zum Fluss den größten Flächeninhalt.

Beispiel 2 – Kantengerüst eines Quaders

In der AG „Basteln und Löten“ sollen die Kleinen das Kantengerüst eines Quaders basteln. Dabei gibt es folgende Vorgaben:

Die Kantenlänge soll 100 cm betragen und die Grundfläche soll doppelt so lang wie breit sein.  Das Volumen des Quaders soll maximal sein.

GeoGebra

Ändere in der Animation die Länge der Seite a. Beachte, wie sich das Volumen und die anderen Seiten ändern.

Ansatz zur rechnerischen Lösung

Aufstellen der Hauptbedingung (HB):

Das Volumen soll maximal werden.

V(a,b,c) = a·b·c

Aufstellen der Nebenbedingungen (NB):

Die Summe aller Kantenlängen k des Quaders betrage 100cm.

NB 1:     k = 100 cm; →  100 cm = 4a + 4b + 4c

Auflösen nach c

{\large\begin{array}{l}100\,cm\,=4a+4b+4c\\\,\,\,25\,cm\,=\,a+b+c\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c\,=\,25\,cm-(a+b)\end{array}  }

Die Grundfläche soll doppelt so lang wie breit sein.

NB 2:     a=2b

Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Hauptbedingung.

{\large\displaystyle \begin{array}{l}V(a,b,c)=a\cdot b\cdot c\\\\V(b,c)\,\,\,\,\,\,=\,\overbrace{2b}^{a}\cdot b\cdot c\\\\V(b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,2b\cdot b\cdot \overbrace{\left[ 25-\left( \overbrace{2b}^{a}+b \right) \right]}^{c}\\\\V(b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,2b\cdot b\cdot \left( 25\,-3b \right)\\V(b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,50\,{{b}^{2}}-6{{b}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{Zielfunktion}\end{array} }

Mit der Zielfunktion haben wir eine Funktion erhalten, in der wir das Volumen des Quaders in Abhängigkeit von nur einer Variablen darstellen können. Wir suchen also die Länge (c), bei der das Volumen maximal wird. Dazu bilden wir die erste Ableitung.

{\large\displaystyle \begin{array}{l}V(b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,50\,{{b}^{2}}-6{{b}^{3}}\\V'(b)\,\,\,\,\,\,=\,100b-18{{b}^{2}}\\\\\text{NST}\,\,\text{der}\,\,\text{1}\text{.}\,\text{Ableitung:}\\0=\,100b-18{{b}^{2}}\\{{b}_{01}}=0\,\wedge \,{{b}_{02}}=\frac{50}{9}=5,\bar{5}\end{array}  }

Wir sehen, dass für c={  5,\bar{5} } cm das Volumen des Quaders maximal wird. Für die zweite Ableitung gilt:

  • V‘‘(b)=100-36b
  • V“({  5,\bar{5} })=-100

Damit hat unsere Zielfunktion bei b={  5,\bar{5} }  ein Maximum.

Aus den NB können wir nun die Längen der Seiten a und b bestimmen.

a=2·b={  11,\bar{1}\,cm }

{\large \begin{array}{l}c\,=\,25\,cm-(a+b)\\c\,=\,25\,cm-(11,\bar{1}\,cm+5,\bar{5}\,cm)\\c=8,\bar{3}\,cm\end{array} }

Der Quader mit dem maximalen Volumen hat die Kantenlängen von ca. a=11,1 cm, b=5,6 cm und c=8,3 cm.

Beispiel 3 – ideale Verpackung

Aufgabe: Der Kleinteileversand DingeDieDieWeltNichtBraucht.com hatte in den letzten Wochen einen großen Anstieg bei den Bestellungen. Das erfordert auch, die Logistik des Unternehmens zu optimieren. Die Standardpakete haben ein Volumen von 24 Litern. Die Pakete sollen natürlich quaderförmig sein. Um die Pakete besser stapeln zu können, soll die Grundseite doppelt so lang wie breit sein.

Bestimme die Kantenmaße, bei denen möglichst wenig Material benötigt wird. (Klebepfalzen u.Ä.) sollen hier vernachlässigt werden.)

GeoGebra

Ändere in der Animation die Länge der Grundseite. Beachte, wie sich die anderen Seiten ändern. Wenn Seiten rot dargestellt werden, dann handelt es sich um theoretische Werte. Negative Maße sind natürlich nicht realistisch.

Ansatz zur rechnerischen Lösung

Aufstellen der Hauptbedingung (HB):

Der Oberflächeninhalt des Quaders soll möglichst klein sein.

A(a,b,c) = 2ab+2ac+2c = 2(ab+ac+bc)

Aufstellen der Nebenbedingungen (NB):

…