Aufstellen der Hauptbedingung (HB):
Das Volumen soll maximal werden.
V(a,b,c) = a·b·c
Aufstellen der Nebenbedingungen (NB):
Die Summe aller Kantenlängen k des Quaders betrage 100cm.
NB 1: k = 100 cm; → 100 cm = 4a + 4b + 4c
Auflösen nach c
{\large\begin{array}{l}100\,cm\,=4a+4b+4c\\\,\,\,25\,cm\,=\,a+b+c\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c\,=\,25\,cm-(a+b)\end{array} }
Die Grundfläche soll doppelt so lang wie breit sein.
NB 2: a=2b
Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Hauptbedingung.
{\large\displaystyle \begin{array}{l}V(a,b,c)=a\cdot b\cdot c\\\\V(b,c)\,\,\,\,\,\,=\,\overbrace{2b}^{a}\cdot b\cdot c\\\\V(b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,2b\cdot b\cdot \overbrace{\left[ 25-\left( \overbrace{2b}^{a}+b \right) \right]}^{c}\\\\V(b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,2b\cdot b\cdot \left( 25\,-3b \right)\\V(b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,50\,{{b}^{2}}-6{{b}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{Zielfunktion}\end{array} }
Mit der Zielfunktion haben wir eine Funktion erhalten, in der wir das Volumen des Quaders in Abhängigkeit von nur einer Variablen darstellen können. Wir suchen also die Länge (c), bei der das Volumen maximal wird. Dazu bilden wir die erste Ableitung.
{\large\displaystyle \begin{array}{l}V(b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,50\,{{b}^{2}}-6{{b}^{3}}\\V'(b)\,\,\,\,\,\,=\,100b-18{{b}^{2}}\\\\\text{NST}\,\,\text{der}\,\,\text{1}\text{.}\,\text{Ableitung:}\\0=\,100b-18{{b}^{2}}\\{{b}_{01}}=0\,\wedge \,{{b}_{02}}=\frac{50}{9}=5,\bar{5}\end{array} }
Wir sehen, dass für c={ 5,\bar{5} } cm das Volumen des Quaders maximal wird. Für die zweite Ableitung gilt:
- V‘‘(b)=100-36b
- V“({ 5,\bar{5} })=-100
Damit hat unsere Zielfunktion bei b={ 5,\bar{5} } ein Maximum.
Aus den NB können wir nun die Längen der Seiten a und b bestimmen.
a=2·b={ 11,\bar{1}\,cm }
{\large \begin{array}{l}c\,=\,25\,cm-(a+b)\\c\,=\,25\,cm-(11,\bar{1}\,cm+5,\bar{5}\,cm)\\c=8,\bar{3}\,cm\end{array} }
Der Quader mit dem maximalen Volumen hat die Kantenlängen von ca. a=11,1 cm, b=5,6 cm und c=8,3 cm.