Extremstellen
Schlagwörter: Extremstellen, Extrema, Minimum, Minima, Maximum, Maxima, Ableitung, Kurvendiskussion
An den Extremstellen befinden sich die Minima und Maxima eines Graphen. Maximum und Minimum bedeuten dabei nicht, dass es sich um die größten/kleinsten Funktionswerte im Wertebereich handelt. Daher sprechen wir von lokalen Maxima/Minima bzw. relativen Maxima/Minima.
Wo befindet sich der Fahrradfahrer auf einem Berg, wo im Tal? Diese Stellen bezeichnen wir als lokale Maxima und lokale Minima.
Wir sprechen von einem lokalen Maximum bei xE , wenn die Funktionswerte in der beliebig kleinen Umgebung von xE kleiner sind als der bei xE.
f(xE-h) < f(xE) und f(xE+h) < f(xE)
Wir sprechen von einem lokalen Minimum bei xE , wenn die Funktionswerte in der beliebig kleinen Umgebung von xE größer sind als der bei xE.
f(xE-h) > f(xE) und f(xE+h) > f(xE)
Mit Hilfe der ersten Ableitung können wir die Position der Extremstellen bestimmen.
Dazu suchen wir die Nullstellen der 1. Ableitung (blauer Graph). Diese befinden sich bei xE1 , xE2 und xE3.
Die vierte Nullstelle von f‘ am Sattelpunkt von f werden wir später untersuchen.
anschauliche Deutung
Die Ableitung f‘ gibt die Steigung des Graphen von f an. Wenn f den höchsten Punkt erreicht hat, dann kann der Graph nicht weiter steigen. Die Steigung muss im höchsten Punkt den Wert Null annehmen. Nach dem Erreichen eines Maximums fällt der Graph. Die Ableitung nimmt dann negative Werte an. Für Minima erfolgt die Betrachtung analog.
Wir können festhalten:
Wenn der Graph von f an der Stelle xE1 ein Maximum hat, dann ist die Ableitung von f an der Stelle xE1=0.
- Maximum: f‘(xE1) = 0
Wenn der Graph von f an der Stelle xE2 ein Minimum hat, dann ist die Ableitung von f an der Stelle xE2=0.
- Maximum: f‘(xE2) = 0
Gilt die Aussage auch umgekehrt?
Dazu schauen wir uns den Sattelpunkt an. Am Sattelpunkt hat der Graph von f‘ eine Nullstelle. Die Steigung ist hier Null. Das können wir auch am Radfahrer aus Abbildung 01 sehen. Aber wie verhält es sich mit den Werten in unmittelbarer Nähe des Sattelpunktes?
f(xSP-h) < f(xSP) < f(xSP+h)
Obwohl die Ableitung an der Stelle xSP den Wert null annimmt, liegt hier kein lokales Extremum vor. Das wird auch am Graphen der Ableitungsfunktion deutlich. Der Graph von f‘ schneidet die x-Achse nicht, sondern berührt sie nur. Der Graph von f‘ geht nicht in den negativen Bereich. Wir sagen: „bei f‘ liegt kein Vorzeichenwechsel“ vor. f‘ hat an dieser Stelle einen Extremwert. Wenn f‘ an der Stelle xSP einen Extremwert hat, dann muss die Ableitung von f‘ den Wert Null annehmen. Die Ableitung von f‘ ist f‘‘ bzw. die zweite Ableitung von f. Wenn wir die 2. Ableitung an den anderen Extremwerten betrachten, dann stellen wir fest:
- f‘(xE1)= 0 und f‘‘(xE1) > 0 ⇒ lokales Minimum
- f‘(xE2)= 0 und f‘‘(xE2) < 0 ⇒ lokales Maximum
- f‘(xSP)= 0 und f‘‘(xSP) = 0 ⇒ kein Extremwert
Damit können wir die Bedingungen für Extremwerte formulieren:
xE ist lokale Extremstelle von f, wenn
- f‘(xE) = 0 (notwendige Bedingung) und
- f'(xE) = 0 ∧ f‘‘(xE) ≠0 (hinreichende Bedingung)
Ist f‘‘(xE) > 0, dann liegt ein lokales Minimum vor. Ist f‘‘(xE) < 0, dann liegt ein lokales Maximum vor.
Beispiel:
{ \large f(x)\,=\,\frac{1}{3}{{x}^{3}}\,-\,\frac{1}{2}{{x}^{2}}\,-6x}
Wir bestimmen die 1. und 2. Ableitung:
{ \large \begin{array}{l}f'(x)\,\,=\,{{x}^{2}}\,-\,x\,-6\\\\f“(x)\,=\,2x\,-1\end{array} }
Überprüfen der notwendigen Bedingung
notwendige Bedingung: xE ist lokale Extremstelle von f, wenn f‘(xE) = 0
Einsetzen in die pq-Formel:
{ \large\begin{array}{l}{{x}_{E}}\,=\,\frac{1}{2}\,\pm \,\sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}\,\,+\,6}\\\\{{x}_{E}}\,=\,\frac{1}{2}\,\pm \,\sqrt{6,25}\,\,=\,\frac{1}{2}\,\pm \,2,5\\\\{{x}_{E1}}\,=\,3\,\,\,\,\,\,\,\wedge \,{{x}_{E2}}\,=\,-2\end{array} }
Überprüfen der hinreichenden Bedingung
hinreichende Bedingung: xE ist lokale Extremstelle von f, wenn f‘(xE) = 0 ∧ f‘‘(xE) ≠ 0
f‘‘(x) = 2x – 1
f‘‘(-2) = -2·2 1 -1 = -5 -5<0 ⇒ lok. Maximum bei xE1 =-2
f‘‘(3) = 2·3 – 1 = 5 5>0 ⇒ lok. Minimum bei xE2 =3
{ \large f(x)\,=\,\frac{1}{3}{{x}^{3}}\,-\,\frac{1}{2}{{x}^{2}}\,-6x}
Der Graph von f hat ein lokales Maximum an der Stelle xE1 = -2.
Einsetzen in f liefert die y-Koordinate. PMax(-2/7,33)
Der Graph von f hat ein lokales Minimum an der Stelle xE2 = 3.
Einsetzen in f liefert die y-Koordinate. PMin(3/-13,5)
