Verhältnisgleichungen

Schlagwörter:  Verhältnisgleichung Dreisatz, Verhältnis, Einheit, Vielheit, Verhältnisgleichung, direkt, Prozent, Prozentrechnung.

Verhältnisgleichungen sind eine elegante Möglichkeit, Größen die in einem direkten Verhältnis stehen, zu  berechnen. Eine häufige Anwendung finden Verhältnisgleichungen in der Prozentrechnung

Kern der Verhältnisgleichung ist das Aufstellen von gleichen Verhältnissen. 

  • Bei einem alten Fernsehapparat verhalten sich die Breite zur Höhe der Bildröhre wie 4:3. Dabei ist es egal, wie groß der Fernsehapparat ist.
  • Ein “vollständiges” Huhn hat 2 Beine. Egal wie viele Hühner wir haben, es werden immer doppelt so viele Beine vorhanden sein.

{\large \frac{Anzahl\,\,der\,\,H\ddot{u}hner}{\text{Anzahl der Beine}}\,\text{=}\,\frac{1}{\text{2}}}

Es verhält sich also stets der Anteil zum Ganzen, wie der Anteil zum Ganzen.

{\huge \frac{Anteil}{\text{Ganzen}}\,\text{=}\,\frac{Anteil}{\text{Ganzen}}}

oder auch:

{\huge \frac{das\,\,Ganze}{\text{zum\,\,Ganzen}}\,\text{=}\,\frac{der\,\,Anteil}{\text{zum\,\,Anteil}}}

Beispiel - Betonmischung

Zur Herstellung von Beton werden Sand und Zement im Verhältnis 4:1 gemischt.  

Wie viel Sand benötigen wir für eine Mischung? Das hängt davon ab, wie viel Zement wir in den Mischer gegeben haben. 

Wenn wir 5 Schaufeln Zement in den Mischer geben, dann können wir die folgende Verhältnisgleichung aufstellen. 

{\large \frac{Sand}{Zement}\,=\,\frac{4}{1}}

Jetzt setzen wir die 5 Schaufeln Zement in unsere Gleichung ein. 

{\large \frac{Sand}{5\,\, Schaufeln\,\,Zement}\,=\,\frac{4}{1}}

Wir lösen die Gleichung nach dem Sand auf. Dazu multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 5 Schaufeln Sand.

{\large \frac{\text{Sand}\,\cdot \text{5}\,\,\text{Schaufeln}}{\text{5}\,\,\text{Schaufeln}\,\,\text{Zement}}\,\text{=}\,\frac{\text{4}\,\cdot \,\text{5}\,\,\text{Schaufeln}}{\text{1}}}

Die 5 Schaufeln auf der linken Seite der Gleichung können wir kürzen. 

Wir benötigen also 20 Schaufeln.

Aufgaben zur Prozentrechnung

Wir wählen dafür die Beispiele, die wir schon im Abschnitt “Dreisatz” berechnet haben.

Beispiel 2:

Lisa muss für ihren schicken neuen Flitzer 2400 € anzahlen. Der Verkäufer sagt, das sind 20 % vom Gesamtpreis des Autos. Wie teuer ist das ganze Auto?

Das Ganze sind 100 %. Das entspricht dem Gesamtpreis des Autos. Der Anteil sind 20 %, die Anzahlung von 2400 €. Das setzen wir in unsere Verhältnisgleichung ein. 

{\large \frac{Gesamtpreis}{\text{100}\,\text{ }\!\!\%\!\!\text{ }}\,\text{=}\,\frac{2400\,\\euro }{\text{20}\,\text{ }\!\!\%\!\!\text{ }}}

Jetzt erweitern wir beide Seiten der Gleichung mit 100 % und kürzen. 

{\large  \begin{array}{l}\frac{Gesamtpreis\,\cdot \,100\,\%}{\text{100}\,\text{ }\!\!\%\!\!\text{ }}\,\text{=}\,\frac{2400\,euro \,\cdot \,100\%}{\text{20}\,\text{ }\!\!\%\!\!\text{ }}\\\\Gesamtpreis\,\text{=}\,\frac{2400\,euro \,\cdot \,100\%}{\text{20}\,\text{ }\!\!\%\!\!\text{ }}\,=\,12.000\,euro \end{array} }

Beispiel 3

Wir wissen jetzt, dass der Gesamtpreis des Autos 12.000 € beträgt. Wie viel Geld muss Lisa anzahlen, wenn die Anzahlung 30 % beträgt?

Das Ganze, also 100 % sind 12.000 €. Lisa muss 30 % anzahlen:

{ \large \begin{array}{l}\frac{Anzahlung}{Gesamtpreis}\,=\,\frac{Anzahlung\,\,in\,\%}{100\,\%}\\\\\frac{Anzahlung}{12.000\,\,euro}\,=\,\frac{30\,\%}{100\,\%}\end{array}   }

Wir erweitern mit 12.000 und erhalten nach dem Kürzen:

{ \large  Anzahlung\,=\,\frac{30\,\%\,\cdot \,12.000\,\,euro}{100\,\%}\,=\,3.600\,\,euro }