Prozentrechnung

Schlagwörter: Prozent, Prozentrechnung, Prozentangabe, Anteil, Zinsen, Grundwert, Prozentwert, Mehrwertsteuer, MWSt, Verhältnis, %

Der Begriff Prozent kommt ursprünglich aus der italienischen Sprache. „per cento“ – Teile von Hundert.

Im täglichen Leben treffen wir häufig auf Prozentangaben.

Beispiele:

  • Die Mehrwertsteuer beträgt 19 %        
  • 25 % der Schüler kommen mit dem Bus zur Schule
  • Die Wahlbeteiligung betrug 85 %
  • Die Musterpartei erhielt 36 % der Wählerstimmen.

Was macht die Prozentangabe so bedeutsam?

Die Prozentangabe ermöglicht es uns, Zahlenangaben in ein Verhältnis zu setzen. Das schauen wir uns am Beispiel Smartphone-Besitzer im Jahr 2018 an.

  • Deutschland 64,8 Millionen Smartphone Besitzer
  • Niederlande 13,5 Millionen Smartphone Besitzer
  • Indien 375 Millionen Smartphone Besitzer

Wo gab es die meisten-, wo die wenigsten Smartphone Besitzer?

Die Frage ist schnell beantwortet, in Indien gab es die meisten Smartphone Besitzer. Aber ist die Angabe, dass es in Indien mehr Smartphone Besitzer gibt als in Deutschland, auch sinnvoll und aussagekräftig?

Dazu schauen wir uns die Einwohnerzahlen der drei Länder im gleichen Jahr an.

  • Deutschland 82,2 Millionen Einwohner   (82.200.000)
  • Niederlande 17,1 Millionen Einwohner   (17.100.000)
  • Indien 1.353 Millionen Einwohner (1.353.000.000)

Vergleich der Einwohnerzahlen

  • In Indien wohnen mehr als 16-mal so viele Menschen wie in Deutschland.
  • In Indien wohnen fast 80-mal so viele Menschen wie in den Niederlanden.
  • In Deutschland wohnen fast 5-mal so viele Menschen wie in den Niederlanden.

Ist es sinnvoll, hier die Anzahl der Smartphone Besitzer zu vergleichen?

Am Beispiel der Smartphone Besitzer erkennen wir, dass es häufig sinnvoll sein kann, eine Mengenangabe in ein Verhältnis zu setzen. Hier bedeutet das, dass wir die Anzahl der Smartphone Besitzer ins Verhältnis zur Einwohnerzahl setzen.

{\huge \frac{Anzahl\,\,der\,\,Smartphone\,Besitzer}{Einwohnerzahl}}

  • Wenn die Zahl der Smartphone Besitzer gleich der Einwohnerzahl ist, dann ergibt das Verhältnis 1.
  • Wenn die Zahl der Smartphone Besitzer halb so groß wie die Einwohnerzahl ist, dann ergibt das Verhältnis 0,5.
  • Wenn die Zahl der Smartphone Besitzer ¼ so groß wie die Einwohnerzahl ist, dann ergibt das Verhältnis 0,25. …

Berechnung

Bei der Prozentrechnung wird das Ganze, also 1, auf 100 Teile normiert.

  • Wenn alle ein Smartphone haben, dann sind das 100 %.
  • Wenn die Hälfte der Bewohner ein Smartphone hat, dann sind das 50 %.
  • Wenn ein Viertel der Bewohner ein Smartphone hat, dann sind das 25 %. …

1 % ist der hundertste Teil vom Ganzen.

{ \large \begin{array}{l}1\,\%\,=\,\frac{1}{100}\\\\2\,\%\,=\,\frac{2}{100}\\\\n\,\%\,=\,\frac{n}{100}\\\\100\,\%\,=\,\frac{100}{100}=\,1\end{array}}

Einfache Berechnungen

Wir wollen hier Teile vom Ganzen (d.G.) bestimmen:

Beispiel 1:

4 % von 20 €; dazu berechnen wir zunächst 1 % des Ganzen und multiplizieren dann mit 4, um 4 % zu erhalten.

  • 4 % von 200 € = ?
  • 1 % von 200 € = 200 € : 100 = 2 €
  • 4 % von 200 € = 2 € · 4 = 8 €
  • 4 % von 200 € sind 8 €

Beispiel 2:

Wir suchen 12,5 % von 30 €

  • 1 % von  30 € = 30 € : 100 = 0,30 €
  • 12,5 % von 30 € = 0,30 € · 12,5 = 3,75 €
  • 12,5 % von 30 € sind 3,75 €.

Wir kennen einen Anteil und wollen jetzt wissen, wie groß das Ganze ist.

Beispiel 1:

20 % des Ganzen sind 50.

  • Als erstes berechnen wir wieder das „Einzelne“
  • 1 % des Ganzen sind  50 : 20 =2,5
  • Wenn wir wissen, dass 1 % 2,5 ist, dann müssen wir nur mit 100 multiplizieren, um 100 % zu erhalten.
  • d.G. = 2,5 · 100 = 250
  • Das Ganze beträgt 250.

Beispiel 2:

150 % des Ganzen sind 750. Wie groß ist das Ganze?

  • Als erstes berechnen wir wieder das „Einzelne“
  • 1 % des Ganzen sind  750 : 150 =5
  • Wenn wir wissen, dass 1 % 5 ist, dann müssen wir nur mit 100 multiplizieren, um 100 % zu erhalten.
  • d.G. = 5 · 100 = 250
  • Das Ganze beträgt 500.

Hier wollen wir den prozentualen Anteil berechnen.

Aus einem Topf mit 200 € bekomme ich 50 €. Wie groß ist der Prozentuale Anteil?

  • Ich teile meinen Anteil (50 €) durch das Ganze (200 €) → 50 € : 200 € = 0,25
  • Wir wissen, dass bei der Prozentangabe das Ganze auf 100 % normiert ist. Also müssen wir unseren Anteil (0,25) mit 100 % multiplizieren.
  • 0,25 · 100 % = 25 %
  • Mein Anteil beträgt 25 %.

Fachbegriffe, wie sie in Lehrbüchern genutzt werden

Wir können die Prozentrechnung sehr einfach in einer Verhältnisgleichung darstellen.

oder allgemein:

Je nachdem was gesucht ist, können wir die Gleichung beliebig umstellen und die gegeben Größen einsetzen.

{ \large \begin{array}{l}\frac{W}{G}\,\,=\,\,\frac{p}{100\,\%}\\\\W\,\,=G\,\cdot \,\frac{p}{100\,\%}\\\\G\,\,=\,\,W\,\cdot \,\frac{100\,\%}{p}\\\\p\,\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{W}{G}\end{array} }

Zur Berechnung – „Smartphone Besitzer in Prozent“

Deutschland: 64,8 Millionen Smartphone Besitzer, 82,2 Millionen Einwohner

Wie hoch ist der Anteil der Smartphone Besitzer in Prozent?

{\large\begin{array}{l}\frac{W}{G}\,\,=\,\,\frac{p}{100\,\%}\\\\p\,\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{W}{G}\\\\p\,\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{64.800.000}{82.000.000}\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{648}{820}\,=\,100\,\%\,\cdot \,0,79=\,79\,\%\end{array}}

Niederlande: 13,5 Millionen Smartphone Besitzer, 17,1 Millionen Einwohner

Wie hoch ist der Anteil der Smartphone Besitzer in Prozent?

 

{\large\begin{array}{l}\frac{W}{G}\,\,=\,\,\frac{p}{100\,\%}\\\\p\,\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{W}{G}\\\\p\,\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{13.500.000}{17.100.000}\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{135}{171}\,=\,100\,\%\,\cdot \,0,79=\,79\,\%\end{array} }

Indien: 375 Millionen Smartphone Besitzer, 1.353 Millionen Einwohner

Wie hoch ist der Anteil der Smartphone Besitzer in Prozent?

{\large \begin{array}{l}\frac{W}{G}\,\,=\,\,\frac{p}{100\,\%}\\\\p\,\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{W}{G}\\\\p\,\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{375.000.000}{1.353.000.000}\,=\,100\,\%\,\cdot \,\frac{375}{1353}\,=\,100\,\%\,\cdot \,0,28=\,28\,\%\end{array}}

Obwohl es in Deutschland fast fünfmal (4,8) so viele Smartphone Besitzer wie in den Niederlanden gibt, ist der Anteil an der Bevölkerung, die ein Smartphone haben, ungefähr gleich (ca. 79 %).

Obwohl es in Indien wesentlich mehr Smartphone Besitzer gibt als in Deutschland und in den Niederlanden, hat weniger als jeder dritte Einwohner ein Smartphone (ca. 28 %).

Beispiel Mehrwertsteuer

Es gibt viele weitere Beispiele für die Prozentrechnung. Ein Beispiel, mit dem du bei jedem Einkauf in Berührung kommst, ist die Mehrwertsteuer. Wenn ihr z.B. eine Hose kauft, dann setzt sich der Ladenpreis aus dem Nettopreis der Ware und der Mehrwertsteuer zusammen. Die Mehrwertsteuer (MwSt.) auf Industriegüter beträgt in Deutschland 19 % (Stand Januar 2021).

Wenn ein Händler eine Ware verkauft, dann muss er die Mehrwertsteuer direkt an das Finanzamt abführen. Es ist also interessant, wie viel Geld er vom Verkauf der Hose behalten kann. Wenn eine Hose 59,50 € kostet, dann entspricht das 119 %, 100 % Nettowert + 19 % MwSt.

Wie hoch ist der Nettopreis der Hose, also der Preis, den der Händler behalten kann?

ma-prozent-08

Der Nettopreis der Ware beträgt 50 €. Das ist die Menge, die der Händler behalten darf.

Beispiel 2:

Ihr kauft eine Hose für 75 € in Norwegen. Auf dem Kassenzettel seht ihr, dass 15 € MwSt im Preis enthalten sind. Wie hoch ist der Mehrwertsteuersatz in Norwegen?

Zuerst berechnen wir aus den Angaben den Grundwert G. 75 €-15 €=60 €

Der Mehrwertsteuersatz in Norwegen beträgt 25 %.

Beispiel 3:

Es gibt Länder (z.B. USA), in denen ist auf den Waren nur der Nettopreis aufgedruckt. Dann steht an der Hose, dass sie 30 $ kostet. Im Bundesstaat New York beträgt der Mehrwertsteuersatz 7 %. Wie viel müsst ihr an der Kasse bezahlen?

Der Preis der Hose setzt sich aus dem Nettopreis (30 $) und der Mehrwertsteuer (2,10 $) zusammen. An der Kasse müssen 32,10 $ bezahlt werden.