Widerstände in Reihen- und Parallelschaltungen

Widerstand, Gesetze, Kirchhoff, Reihenschaltung, Parallelschaltung

Der Widerstand gibt an, wie stark der Stromfluss gehindert wird. Die Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen können wir mit verschiedenen Modellen beschreiben. Wir können aber auch den spezifischen Widerstand zur Erklärung heranziehen.

Wir wissen:

{\large  R={{\rho }_{spez}}\cdot \frac{\text{l}}{A}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| \begin{array}{l}{{\rho }_{spez}}\,-\text{spezifischer}\,\,\text{Widerstand}\\\,\text{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{-}\,\text{L }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nge des Leiters}\\\,A\,\,\,\,\,\,-\,\text{Querschnitt}\,\,\text{des}\,\,\text{Leiters}\end{array} \right.}

Je länger der Leiter, desto größer der Widerstand. In einer Reihenschaltung liegen die Widerstände hintereinander. Ihre Widerstände addieren sich also.

Je größer der Querschnitt des Leiters, desto kleiner ist der Widerstand. In der Parallelschaltung liegen die Widerstände nebeneinander. Wenn wir die Widerstände zusammenfassen, dann entspricht das einem größeren Querschnitt. Der Gesamtwiderstand muss ich reduzieren.

Experiment

Das können wir in einem einfachen Experiment auch nachvollziehen. Dazu benötigen wir ein Netzgerät, ein Amperemeter, einen weichen Bleistift (B4 oder weicher), 3 Kabel und eine Krokoklemme.

Zeichne auf einem Blatt Papier die folgenden Figuren:

  • Rechteck (4 cm x 0,5 cm)
  • Rechteck (6 cm x 0,5 cm)
  • Rechteck (8 cm x 0,5 cm)
  • Rechteck (4 cm x 1,0 cm)
  • Rechteck (4 cm x 1,0 cm)

Male die Rechtecke mit dem weichen Bleistift aus. Achte darauf, dass du die Flächen sehr dicht ausmalst.

Schließe jeweils die Ränder eines der Rechtecke eine über eine Krokoklemme an. Wähle eine Spannung von ca. 6 V und miss den Strom.

Die “gezeichneten Widerstände“ sind natürlich nicht normiert, sodass wir keine exakten Messwerte erwarten dürfen. Aber wir können beobachten:

  • Je länger der Bleistiftstrich, desto größer der Widerstand.
  • Je breiter der Bleistiftstrich, desto kleiner der Widerstand.

Wie verhalten sich die Widerstände in der Reihenschaltung?

In Analogie zu zwei Widerständen in Reihe können wir auch zwei „Rechtecke“ hintereinander zeichnen. Das Rechteck verlängert sich und damit steigt auch der Widerstand. Die Widerstände addieren sich. Es gilt:

Rges = R1 + R2

Wie verhalten sich die Widerstände in der Parallelschaltung?

In Analogie zu zwei parallel geschalteten Widerständen können wir auch das Rechteck breiter zeichnen. Der Widerstand wird kleiner.

Aus dem Zusammenhang  {\large  R={{\rho }_{spez}}\cdot \frac{\text{l}}{A}} erkennen wir, dass R antiproportional zum Querschnitt ist.

{\large R\sim \frac{1}{A}}

Um den Gesamtwiderstand in der Parallelschaltung zu bestimmen, können wir die Erfahrungen von den Strömen und Spannungen in der Parallelschaltung nutzen.

Gleichung [1] können wir jetzt umstellen.

{ \displaystyle {{I}_{ges}}\,\,\,\,=\frac{U}{{{R}_{1}}}+\frac{U}{{{R}_{2}}} }

{ \displaystyle \frac{U}{{{R}_{ges}}}\,=\frac{U}{{{R}_{1}}}+\frac{U}{{{R}_{2}}}\,\,\,\,\,\left| :U \right. }

Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch die Spannung U teilen, dann erhalten wir:

{ \displaystyle \frac{1}{{{R}_{ges}}}\,=\,\frac{1}{{{R}_{1}}}+\frac{1}{{{R}_{2}}} }

Der mathematische Ansatz lässt sich für beliebig viele parallel geschaltete Widerstände fortsetzen. Es gilt dann:

{ \displaystyle \frac{1}{{{R}_{ges}}}\,=\,\frac{1}{{{R}_{1}}}+\frac{1}{{{R}_{2}}}+\,…\,+\frac{1}{{{R}_{n}}} }

Zusammenfassung