Beugung am Mehrfachspalt
Mehrfachspalt, Doppelspalt, 2-fach-Spalt, 3-fach-Spalt, 4-fach-Spalt, Interferenz, Gitter, Beugung
Vom 2-fach-Spalt zum 3-fach-Spalt zum 4-fach-Spalt
Die Beugung am Doppelspalt wurde auf der Seite hier schon ausführlich erklärt. Wie ändern sich die Beugungsbilder, wenn wir statt des Doppelspalts, die Anzahl der Spalten erhöhen?
Beugungsbilder an verschiedenen Spalten / Mehrfachspalt
Am Doppelspalt ►01 können wir klare Interferenzmuster mit Minima und Maxima erkennen. Beim 3-fach-Spalt und 4-fach-Spalt ►02/03 erkennen wir zwischen den Maxima weitere helle Stellen. Diese bezeichnen wir als Nebenmaxima.
Wie entstehen die Nebenmaxima?
Zur Erklärung werden wir das HUYGENSsche Prinzip und das Zeigermodell nutzen.
Nach HUYGENS ist jeder Punkt einer Wellenfront, Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle. Die Wellenstrahlen, die von den Spalten ausgehen, haben bis zu den verschiedenen Stellen des Schirms verschiedene Wegstrecken zurückzulegen. Zwei Wellen interferieren konstruktiv, wenn der Gangunterschied d ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist.
- konstruktive Interferenz: {\large\delta =k\cdot \lambda \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k\in \mathbb{N}) }
- destruktive Interferenz: {\large\delta =\frac{2k+1}{2}\cdot \lambda \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k\in \mathbb{N}) }
Den Gangunterschied können wir durch die unterschiedlichen Winkel der Zeiger abtragen.
Der Doppelspalt bzw. 2-fach-Spalt
Beim Hauptmaximum Max-0 haben beide Wellenstrahlen den gleichen Weg zurückgelegt, δ=0. Beide Zeiger verlaufen in die gleiche Richtung. Das Gleiche gilt für die Maxima Max-1.
An der Stelle Min-1 beträgt der Gangunterschied der Wellenstrahlen λ/2. Die Zeiger verlaufen in entgegengesetzte Richtung. Ihre Resultierende ist 0.
Der 3-fach-Spalt
Beim Hauptmaximum Max-0 haben alle 3 Wellenstrahlen die gleiche Phase. Die Wegunterschiede sind 0 oder ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ. Alle Zeiger zeigen in die gleiche Richtung.
Das Gleiche gilt für die Maxima Max-1.
Hinweis: Da die Minima und Maxima (außer Max-0) jeweils paarweise und symmetrisch auftreten, sind sie hier gleich benannt.
Entstehung der Minima am 3-fach-Spalt
An den Stellen Min-1.1 beträgt der Gangunterschied der Wellenstrahlen λ/3.
Im Zeigermodell entspricht die Phasenverschiebung von einer Wellenlänge dem Vollwinkel 2π bzw. 360°.
Wenn die Phasenverschiebung benachbarter Wellenstrahlen λ/3 beträgt, dann entspricht das einem Winkel von 120°.
Mit diesem Winkel zeichnen wir die Zeiger der 3 Wellenstrahlen ein.
An den Stellen Min-1.2 beträgt der Gangunterschied der Wellenstrahlen 2λ/3. Die Addition der 3 Zeiger ergibt wieder 0.
Entstehung von Zwischenmaxima
Hier können wir jetzt erkennen, wie die Zwischenmaxima entstehen. Die Länge der Wellenstrahlen differiert jeweils um λ/2. Damit sind die Zeiger jeweils um 180° verdreht. Es sieht zunächst verwunderlich aus, dass aus einem Gangunterschied von λ/2 keine destruktive Interferenz resultiert. Während sich die Zeiger zweier benachbarter Wellenstrahlen gegenseitig aufheben, wird der 3. Zeiger addiert.
4-fach-Spalt
Beim Hauptmaximum Max-0 haben alle 4 Wellenstrahlen die gleiche Phase. Die Wegunterschiede sind 0 oder ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ. Alle Zeiger zeigen in die gleiche Richtung.
Das Gleiche gilt für die Maxima Max-1.
(zu den Minima – s. unten)
- An den Stellen Min-1.1 beträgt der Gangunterschied der Wellenstrahlen λ/4 (90°)
- An den Stellen Min-1.2 beträgt der Gangunterschied der Wellenstrahlen λ/2 (180°)
- An den Stellen Min-1.3 beträgt der Gangunterschied der Wellenstrahlen 3λ/4 (270°)
Die Addition der 4 Zeiger ergibt 0. An der folgenden GeoGebra-Animation kannst du die Stellung der Zeiger und die jeweiligen Winkel ablesen.
GeoGebra - Animation
Link zu einer Geogebra Animation mit einer hervorragenden Darstellung zur Beugung an Spalt, Doppelspalt und Gitter