Funktionen – Symmetrie
Schlagwörter: Symmetrie, Funktionen, Graphen, Punktsymmetrie, punktsymmetrisch, Achsensymmetrie, achsensymmetrisch, Achsenspiegelung, Punktspiegelung, gerade Funktionen, ungerade Funktionen
Der Begriff der Symmetrie (altgriechisch „symmetria – Ebenmaß“) bezeichnet eine geometrische Eigenschaft.
Bei der Betrachtung von Funktionen und ihren Graphen sind die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie eine zentrale Eigenschaft. Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen sind Kongruenzabbildungen.
Achsensymmetrie
Durch eine Geradenspiegelung an der y-Achse wird die Funktion auf sich selbst abgebildet. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur Ordinate (y-Achse), wenn für alle x ∈ DB gilt:
f(-x) = f(x)
Punktsymmetrie
Durch eine Punktspiegelung am Punkt P(0/0) wird die Funktion auf sich selbst abgebildet. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn für alle x ∈ DB gilt:
f(-x) = -f(x)
Achsen – und Punktsymmetrie für ganzrationale Polynome n-ten Grades
Ein ganzrationales Polynom n-ten Grades genügt der Form
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x1 + a0x0
GeoGebra-selbstständiges Erarbeiten
In der folgenden GeoGebra Animation sollt ihr die Parameter (a,b,c,d,e) so anpassen, dass der Graph der Funktion entweder achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist.
Hinweis: Beginnt bei der Achsensymmetrie mit dem höchsten Exponenten. Dafür setzt ihr a=1. Die anderen Parameter sollten zunächst 0 sein. Ändert dann die anderen Parameter, überprüft den Einfluss auf den Graphen und formuliert eine Regel für die Achsensymmetrie.
Versuche in gleicher Weise eine Regel für die Punktsymmetrie zu finden.
Achsen – und Punktsymmetrie für ganzrationale Polynome n-ten Grades
Ein ganzrationales Polynom n-ten Grades genügt der Form
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x1 + a0x0
Wenn im Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen von x mit geradem Exponenten auftreten, dann sprechen wir von einer geraden Funktion. Gerade Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse.
Wenn im Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen von x mit ungeradem Exponenten auftreten, dann sprechen wir von einer ungeraden Funktion. Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
GeoGebra
Achsen – und Punktsymmetrie für andere Funktionstypen
… folgt
Bewegung / Kongruenzabbildungen:
Jede Verschiebung, jeder Drehung und jede Spiegelung, sowie eine beliebige Kombination aus diesen Abbildungen in der Ebene nennt man Bewegung.
Originalfigur und Bildfigur sind bei Bewegungen kongruent, d.h. deckungsgleich. Seitenlängen und Winkel bleiben bei jeder Bewegung erhalten.
Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen sind Kongruenzabbildungen.