Teiler und Vielfache
Teiler und Vielfache sind nicht schwer zu verstehen. Schon die Begriffe erklären sich selber.
Aber wofür benötigen wir das?
Ihr müsst euch mit Teilern und Vielfachen auskennen, um in der Bruchrechnung erfolgreich zu sein.
Teiler
Teiler: Eine Zahl b ist Teiler einer Zahl a, wenn a:b = natürliche Zahl Rest 0
Beispiel:
- 3 ist Teiler von 12, denn 12:3 = 4 Rest 0
- 11 ist Teiler von 55, denn 55:11 = 5 Rest 0
- 4 ist kein Teiler von 27, denn 27:4 = 6 Rest 3
Statt 4 ist Teiler von 36, können wir auch kurz schreiben: 4|36
Alle Teiler einer Zahl bilden die Menge der Teiler. Mengen schreiben wir stets in geschwungenen Klammern. { …. }
Beispiele:
- T12 ={1; 2; 3; 4; 6; 12}
- T16 = {1; 2; 4; 8; 16}
Die Zahlen 1 und die Zahl selber sind Teiler aller Zahlen (außer Null).
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl erhalten wir, wenn wir die Zahl stets mit sich selbst addieren.
Die Vielfachen von a sind also:
Va ={a; a+a; a+a+a; a+a+a+a; …}
Noch einfacher wird es mit der Multiplikation.
Vielfache von a:
Va = {a; 2a; 3a; 4a; 5a; 6a; 7a; …}
Eine Zahl hat eine endliche Anzahl von Teilern und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.
größter gemeinsamer Teiler - ggT
Die gemeinsamen Teiler von 12 und 16 sind 1, 2, 4
T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
T16 = {1, 2, 4, 8, 16}
Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 16 ist 4.
ggT(12,16)=4
kleinste gemeinsame Vielfache - kgV
Die gemeinsamen Vielfachen von 4 und 6 sind die Zahlen 12, 24, 36, …
V4 ={4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ….}
V6 ={6, 12, 18, 24, 30, 36, …}
Das kleinste gemeinsamen Vielfachen von 4 und 6 ist die Zahl 12.
kgV(4, 6) = 12
ggT und kgV mit der Primfaktorzerlegung
Mithilfe der Primfaktorzerlegung gelingt das Bestimmen von ggT und kgV schnell und übersichtlich.
Dazu werden die Zahlen untereinander geschrieben. Es ist ratsam, auch die jeweiligen Primfaktoren untereinander zu schreiben und etwas Platz zu lassen, wenn ein Faktor nicht enthalten ist (s. Bild). Je übersichtlicher die Faktoren notiert werden, desto leichte lassen sich der ggT und das kgV finden.
Bestimme den ggT und das kgV der Zahlen 24 und 36.
Bestimme den ggT und das kgV der Zahlen 120 und 180.
Die folgende Tabelle zeigt, dass ggT und kgV auch in einer Tabelle gemeinsam bestimmt werden können.
