Primzahlen

Schlagwörter: Primzahl Teiler Primfaktorzerlegung Brüche

Wenn wir die Teiler verschiedener Zahle aufschreiben, dann fällt auf, dass die Zahlen unterschiedlich viele Teiler haben. s. Tabelle

Einige Zahlen (z.B. 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17;…) haben nur 2 Teiler. Diese Zahlen nennen wir Primzahlen.

Hier zwei mögliche Definitionen:

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler.

oder

Eine Primzahl ist nur durch 1 und durch sich selber teilbar. 1 ist keine Primzahl.

Mit dem Sieb des Eratosthenes kannst du Primzahlen finden. Notiere die Zahlen von z.B. 1 bis 100 und arbeite die folgenden Schritte ab.

Jede Natürliche Zahl ist Vielfaches von 1. 1 ist keine Primzahl. Streiche die 1.

  1. Zeichne einen Kreis um die 2 und streiche alle Vielfachen von 2 mit einem senkrechten Strich ab.
  2. Suche nach der 2, die nächstgrößere, noch nicht gestrichene Zahl (3). Zeichne einen Kreis um die Zahl 3 und streiche alle Vielfachen von 3 mit einem waagrechten Strich ab.
  3. Suche die nächstgrößere, noch nicht gestrichene Zahl. Zeichne einen Kreis um die Zahl und streiche alle Vielfachen mit einem diagonalen Strich ab.
  4. Suche jeweils die nächstgrößere, noch nicht gestrichene Zahl und verfahre weiter so.
  5. Notiere alle Zahlen, die du mit einem Kreis versehen hast. Kannst du bei den Zahlen mit Kreis eine Gemeinsamkeit feststellen?

Wenn du richtig gearbeitet hast, dann sind alle Zahlen mit einem Kreis Primzahlen. Diese Zahlen sind nur durch 1 und durch sich selber teilbar. 

pdf zum Sieb des Eratosthenes mit Arbeitsaufträgen

Primfaktorzerlegung

Wir können jede Zahl in Primfaktoren zerlegen. Die Zerlegung ist dabei (bis auf die Reihenfolge) eindeutig.

Beispiel: 24=2·2·2·3

Es gibt keine andere Zerlegung der 24, in ein Produkt von Primzahlen.

Wenn die Zerlegung nicht auf den ersten Blick sichtbar ist, dann könnt ihr auch in kleineren Schritten vorgehen. Dabei beginnt ihr mit dem kleinsten, möglichen Teiler 2 und probiert dann weiter mit der 3; 5; 7; 11; …

420=2·210

420=2·2·105

420=2·2·3·35

420=2·2·3·5·7 Primfaktorzerlegung

An den Primfaktoren können wir alle Teiler der Zahl 420 erkennen. Die Teiler sind die Primfaktoren 2, 3, 5 und 7, sowie die Produkte daraus. 

T420={2; 3; 5; 7; 2·2; 2·3; 2·5; 2·7; 3·5; 3·7; 5·7; 2·2·3; …}

 

ein weiteres Beispiel:

924=2·462

924=2·2·231

924=2·2·3·77

924=2·2·3·7·11 Primfaktorzerlegung