Teilbarkeitsregeln

Schlagwörter: Bruchrechnung, Teiler, Vielfache, Teilbarkeitsregeln

Bei kleineren Zahlen können wir schnell erkennen, ob diese durch 2 oder 3 oder 5 oder 6 oder … teilbar sind.

Aber wie sieht es bei den Zahlen 7125 oder 213.002.123.832 aus? Ist die Zahl durch 2 oder 3 oder … teilbar?

Mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln können wir das schnell erkennen.

Die folgenden Teilbarkeitsregeln sind nicht nach der Größe geordnet. Hier geht es zuerst um das Verständnis.

  • Teilbarkeitsregel 2:

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.

  • Teilbarkeitsregel 10:

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Stelle eine 0 ist.

  • Teilbarkeitsregel 5:

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle eine 0 oder eine 5 ist.

  • Teilbarkeitsregel 4:

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Stellen durch 4 teilbar sind.

Beispiele: Wir untersuchen die Zahl 258.497.364. Um die Teilbarkeit mit 4 zu überprüfen, müssen wir nur die letzten beiden Stellen ansehen. Ist 64 durch 4 teilbar?

64:4=16 Rest 0

Wenn die beiden letzten Stellen durch 4 teilbar sind, dann ist auch die Zahl 258.497.364 durch 4 teilbar.

Um das zu klären, schauen wir uns die Stellenwerte der Zahl und ihre Teilbarkeiten an. 

100 ist durch 4 teilbar. Dann sind auch alle Vielfachen von 100 durch 4 teilbar. Wir müssen also nur die beiden letzten Stellen überprüfen.

  • Teilbarkeitsregel 3:

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.

Beispiele:

  • 231 – Quersumme=2+3+1=6; Die Quersumme 6 ist durch 3 teilbar, dann ist auch 231 durch 3 teilbar.
  • 132 – Quersumme=1+3+2=6; Die Quersumme 6 ist durch 3 teilbar, dann ist auch 132 durch 3 teilbar.
  • 312 – Quersumme=3+1+2=6; Die Quersumme 6 ist durch 3 teilbar, dann ist auch 312 durch 3 teilbar.
  • 1312 – Quersumme=1+2+1+2=7; Die Quersumme 7 ist nicht durch 3 teilbar, dann ist auch 1312 nicht durch 3 teilbar.
  • Teilbarkeitsregel 9:

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.

Was ist eine Quersumme?

Die Quersumme ist die Summe der einzelnen Ziffern einer Zahl. 

Beispiel:

Zahl: 12345 – Quersumme 1+2+3+4+5=15

Zahl: 458132 – Quersumme 4+5+8+1+3+2=23

Kombination von Teilbarkeitsregeln

Wir können Teilbarkeitsregeln auch verbinden. Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar? 

Statt direkt durch 6 zu teilen, können wir den Divisor auch in ein Produkt zerlegen.  

Beispiel: 

{24\,:\,6\,=\,24\,:\,\left( 3\cdot 2 \right)=\,\left( 24:3 \right):2=8:2=4}

  • Teilbarkeitsregel 6:

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist. 

oder: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn die letzte Stelle eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. 

  • Teilbarkeitsregel 15:

Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie auch durch 3 und 5 teilbar ist.

Zurück zum Eingangsbeispiel hatten wir gefragt, ob die Zahlen 7125 oder 213.002.123.832 durch 2 oder 3 oder … teilbar sind?

7125

Die letzte Ziffer ist eine 5, damit ist die Zahl nicht durch 2 teilbar. Die Zahl ist aber durch 5 teilbar.

Die Quersumme ist 7+1+2+5=15. 15 ist durch 3 teilbar. Damit ist die Zahl 7125 durch 3 teilbar.

15 ist nicht durch 9 teilbar. Also ist auch 7125 nicht durch 9 teilbar.

weitere Teilbarkeitsregeln

Es gibt natürlich weitere Teilbarkeitsregeln. Die gehen aber über den Stoff der 5/6 Klasse hinaus. 

  • Teilbarkeit 11:

Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. (alternierend steht hier für eine abwechselnde Addition und Subtraktion.)

Beispiel: 

  1. Zahl 46827

alternierende Quersumme: 7-2+8-6+4=11

11:11= 1 Rest 0

…, also ist 46827 durch 11 teilbar.

2. Zahl 71926

alternierende Quersumme: 6-2+9-1+7=19

19:11=1 Rest 8

…, also ist 71926 nicht durch 11 teilbar.

Weitere Teilbarkeitsregeln, wie z.B. für die 7, findet ihr hier.