periodische Dezimalzahlen
Schlagwörter: Bruch, Division, Dezimalzahlen, schriftliche Division, Periode, periodische Dezimalbrüche
Das schriftliche Dividieren von natürlichen Zahlen habt ihr bereits auf der Grundschule gelernt. Dabei habt ihr im Ergebnis natürliche Zahlen oder natürliche Zahlen mit Rest erhalten. Wir wollen hier etwas weitergehen.
Dazu betrachten wir das Beispiel 1:3
Die 3 ist in der 10 ganze 3 mal enthalten. Es bleibt der Rest 1. Dieser Rest wiederholt sich aber in jedem Schritt. Wir könnten die Division unendlich lange fortsetzen. Der Quotient ist 0,33333333…
Wenn sich etwas in regelmäßigen Abständen wiederholt, dann sprechen wir von einer Periode.
In der Mathematik wird die Periode mit einem Strich über den Ziffern gekennzeichnet, die sich periodisch wiederholen.
Wir schreiben: {0,\bar{3}}
Es gibt aber auch Beispiele, in denen die Periode länger ist.
Die 7 ist in der 1 Null mal enthalten, daher steht vor dem Komma eine 0. Dann geht es wie bei der schriftlichen Division weiter.
Ganz unten erkennen wir, dass sich der Rest 1 wiederholt. Damit werden sich auch alle darüberstehenden Rechnungen ab dem letzten Rest 1 wiederholen. (rot eingekreist)
Die Periode beginnt also nach der 0.
{1:7= \displaystyle 0,\overline{142857}}
Gibt es immer eine Periode?
Wenn wir durch eine natürliche Zahl oder durch eine natürliche Zahl teilen, dann geht diese Division auf oder hat einen Rest.
- 14:7= 2
- 15:7= 2 Rest 1
- 16:7= 2 Rest 2
- 17:7= 2 Rest 3
- 18:7= 2 Rest 4
- 19:7= 2 Rest 5
- 20:7= 2 Rest 6
- 21:7= 3
Bei der Division durch 3 gibt es die Reste 0, 1 und 2. Bei der Division durch 4 gibt es die Reste 0, 1, 2 und 3. … Bei der Division du eine natürliche Zahl gibt es als stets nur endlich viele Reste. Damit erhalten wir bei der Division durch eine natürliche Zahl eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl.