Modellieren quadratischer Funktionen
Modellieren quadratischer Funktionen, quadratische Funktion, quadratische Gleichung, Normalparabel
Viele Formen die wir im Alltag sehen, können wir relativ einfach mit Gleichungen beschreiben. Einige der Formen lassen sich mit quadratischen Gleichungen modellieren ►01-03. In den 3 Bildern können wir deutlich eine Parabelform erkennen.
Der Lösungsansatz ist dabei stets ähnlich, kann aber durch ein geschicktes Arbeiten deutlich vereinfacht werden.
Lösungsstrategien zum Modellieren
- Wir entnehmen dem Text und/oder der Grafik die relevanten Informationen und übertragen sie in eine Skizze. Dazu müssen wir ein geeignetes Koordinatensystem wählen. Prinzipiell ist jedes der Koordinatensysteme geeignet. Eine geschickte Wahl des Koordinatensystems kann uns die Arbeit deutlich vereinfachen. Dazu schauen wir uns den Brunnen in ►04-06 an. Die Grafiken 04-06 zeigen eine unterschiedliche Wahl des Koordinatenursprungs.
Wahl (A) des Koordinatensystems – Abb. 04
- Wahl der zugehörigen Gleichung:
- Bei der Wahl A ►04 können wir die einfache Form der Gleichung, ohne Verschiebung längs der x-Achse betrachten: f(x) = a·x2 + c
- An der Grafik können wir c direkt ablesen: c=2,5
- Weiter sehen wir, dass die Parabel an den Stellen x=-1 und x=1 eine Nullstelle Daraus folgt: f(-1)=0 und f(1)=0
- Einsetzen in eine der Gleichungen
{\begin{array}{l} & \left[ I. \right] \,\,\,\, f(1)=0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,=\,a\cdot {{1}^{2}}+2,5 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a=\,-2,5 \\ \end{array} }
Einsetzen der Parameter in die Ausgangsgleichung: f(x)=-2,5x2+2,5
Wahl (B) des Koordinatensystems Abb. 05
Wahl der zugehörigen Gleichung:
- Bei der Wahl B ►05 liegt unser Koordinatenursprung in der ersten Nullstelle, also bei der Auslassdüse des Springbrunnens.
f(x) = a·x2 + bx + c
- An den Stellen x01= 0 und x02 =2 haben wir jeweils eine Nullstelle (NST). Hier gilt dann: f(0)=0 und f(2)=0
- An der Grafik können wir c direkt ablesen. c=2,5
- Weiter sehen wir, dass der Scheitelpunkt bei S(1; 2,5) liegt. Es gilt also: f(1)=2,5
- Wir können jetzt mit der Scheitelpunktform, oder mit der Normalform weiterarbeiten. Wir entscheiden uns für die Normalform:
f(x) =ax²+bx+c c=0
f(x) =ax²+bx
Wir haben eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Aus den Vorüberlegungen wissen wir, dass:
{\begin{array}{l} & \left[ I. \right] \,\, f\left( 1 \right)=2,5\,=a\cdot {{1}^{2}}+b\cdot 1 \\ & 2,5=a+b \\ & \left[ II. \right]f(2)=0\,=a\cdot {{2}^{2}}+b\cdot 2 \\ & 0=a\cdot 4\,+\,b\cdot 2 \\ & \\ \end{array} }
Lösen des Linearen Gleichungssystems LGS
Zum Lösen des LGS stehen uns verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung.
Händisches Lösen
{\begin{array}{l} & \left[ I \right]2,5=a+b \\ & \left[ II \right]0=4a+2b \\ & \\ & I\,\,nach\,\,b\,\,aufl\ddot{o}sen2,5\,=\,a+b \\ & b=2,5-a \\ & \\ & b\to \left[ II \right] \,\,\,\, 0=4a+2\left( 2,5-a \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,0=4a+\,5\,-\,2a \\ & 0=2a\,+5 \\ & 2a=-5 \\ & a=\,\,-2,5 \\ & \\ & a\to \left[ I \right] \,\,\,\,2,5=-2,5\,+b \\ & b=5 \\ \end{array} }
[B] f(x) =-2,5x2 + 5x
Lösen mit dem Rechner
Eingabe der Werte in den Rechner. Je nach Rechner muss ggf. die Syntax der Schreibweise angepasst werden ►07/08.
Aus der Lösung des LGS können wir die Funktionsgleichung ablesen.
[B] f(x) =-2,5x2 + 5x
Wahl (C) des Koordinatensystems Abb. 06
Wahl der zugehörigen Gleichung:
- Bei der Wahl C ►06 liegt unser Koordinatenursprung im Scheitelpunkt der Parabel.
- Da wir nur eine Unbekannte haben, reicht uns auch eine Bedingung. An der Grafik können wir sehen, dass f an der Stelle 1 den Wert -2,5 annimmt. Es gilt also: f(1)=-2,5
Wir haben die Form einer an der x-Achse gespiegelten, gestreckten Normalparabel. f(x) = a·x2
{\begin{array}{l} f(1)= & -2,5\,=\,a\cdot {{1}^{2}} \\ & -2,5\,=\,a \\ \end{array} }
f(x) = -2,5·x2
Grafik ►09 zeigt alle 3 Parabeln in einem gemeinsamen Koordinatensystem. Es wird deutlich, dass alle 3 Parabeln durch Verschiebungen aufeinander abgebildet werden können.
