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Auftrieb - Rechnungen und Beispiele

Schlagwörter: Auftrieb, Druck, Gewichtskraft, Auftriebskraft, Schwimmen, Sinken, Schweben

Die theoretischen Vorbetrachtungen zum Auftrieb findest du hier. Auf dieser Seite wird es ausschließlich um Beispiele und Berechnungen gehen. 

Beispiel „Baden im Freibad und im Toten Meer“

Für das Wasser im Freibad wollen wir Süßwasser mit einer Dichte von r=1,0 kg/dm3 annehmen. Das Tote Meer hat einen Salzgehalt von ca. 30% und damit eine Dichte von ca.  r=1,24 kg/dm3. Die Dichte eines Menschen beträgt etwas mehr als  1 kg/dm3. Genauere Angaben sind nicht möglich, da die Dichte z.B. von der Verteilung des Fett- und Muskelgewebes abhängt. Aber auch das Körpervolumen ist beim Ein- und Ausatmen unterschiedlich. Daher nehmen wir an: rMensch=1,0 kg/dm3

Berechne den Anteil des Menschen, der beim Baden im Toten Meer aus dem Wasser ragt.

{\large  \displaystyle geg.:\,{{\rho }_{Mensch}}=1,0\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}\,;\,\,\,\,\,{{\rho }_{Salzwasser}}=1,24\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}\,\,\,\,\,\,ges.:\,Anteil\,\,der\,\,aus\,\,dem\,\,Wasser\,\,ragt}

Lösung:  Der schwimmende Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Gewichtskraft FG gleich der Auftriebskraft FA ist, die das eintauchende Volumen erfährt.

{\large  \begin{array}{l}{{F}_{G}}={{F}_{A}}\\\\{{m}_{Mensch}}\cdot g\,=\,{{m}_{Salzwasser}}\cdot g\\\\{{V}_{Mensch}}\cdot {{\rho }_{Mensch}}\cdot g\,=\,{{V}_{Salzwasser}}\cdot {{\rho }_{Salzwasser}}\cdot g\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| :g \right.\\\\{{V}_{Mensch}}\cdot {{\rho }_{Mensch}}\,\,\,\,\,\,\,=\,{{V}_{Salzwasser}}\cdot {{\rho }_{Salzwasser}}\\\\\frac{{{\rho }_{Mensch}}}{{{\rho }_{Salzwasser}}}\,=\,\frac{{{V}_{Salzwasser}}}{{{V}_{Mensch}}}\\\\\frac{1\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}}{1,24\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}}\,=\,\frac{{{V}_{Salzwasser}}}{{{V}_{Mensch}}}\\\\\frac{{{V}_{Salzwasser}}}{{{V}_{Mensch}}}\,=\,\frac{1}{1,24}\,=0,806\end{array}    }

Knapp 20% des Körpers ragen aus dem Wasser heraus.

Da die Dichten von Mensch und Wasser im Freibad ungefähr gleich sind, befinden sich die Gewichtskraft und die Auftriebskraft in jeder Höhe im Wasser im Gleichgewicht. Das bedeutet aber, dass wir aktiv sein müssen um uns über Wasser zu halten. Nur der vollständig eingetauchte Körper befindet sich in der Schwebe.

Ein Video der Physikanten zum Thema findest du hier

Beispiel Eisberg

Eis hat eine Dichte rEis=0,92 kg/dm3. Berechne, welcher Anteil eines Eisbergs aus dem Wasser ragt.

Die Aufgabenstellung ist nicht ganz eindeutig. Schwimmt der Eisberg im Ozean oder in einem Süßwassersee? Wir gehen von Süßwasser aus.

{\large geg.:\,\,{{\rho }_{{{H}_{2}}O}}=1\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}\,;\,\,\,\,\,\,\,{{\rho }_{Eis}}=0,92\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}} }

Lösung: 

Wir erkennen, dass die Dichte von Eis kleiner ist, als die von Wasser. Der Eisberg wird also schwimmen. Ein Teil des Eisbergs ragt aus dem Wasser heraus. Gewichtskraft FG und Auftriebskraft FA sind im Gleichgewicht, wenn

{\large \begin{array}{l}{{F}_{G}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,{{F}_{A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\rho =\frac{m}{V}\,\,\Leftrightarrow \,m=\rho \cdot V\\{{m}_{Eis}}\cdot g\,=\,{{m}_{{{H}_{2}}O}}\cdot g\\{{\rho }_{Eis}}\cdot \,{{V}_{Eis}}\cdot g\,=\,{{\rho }_{{{H}_{2}}O}}\cdot \,{{V}_{{{H}_{2}}O}}\cdot g\,\,\,\,\left| :g \right.\\{{\rho }_{Eis}}\cdot \,{{V}_{Eis}}\,\,\,\,\,\,\,=\,{{\rho }_{{{H}_{2}}O}}\cdot \,{{V}_{{{H}_{2}}O}}\\\frac{{{\rho }_{Eis}}}{{{\rho }_{{{H}_{2}}O}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\frac{{{V}_{{{H}_{2}}O}}}{{{V}_{Eis}}}\end{array} }

Einsetzen der Dichten von Eis und Wasser

{\large  \begin{array}{l}\frac{0,92\,kg\,\cdot d{{m}^{3}}}{1,0\,kg\,\cdot d{{m}^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\frac{{{V}_{{{H}_{2}}O}}}{{{V}_{Eis}}}\\\frac{{{V}_{{{H}_{2}}O}}}{{{V}_{Eis}}}\,\,=0,92\end{array} }

Im Süßwasser befinden sich 92% des Eisbergs unter Wasser, bzw. 8% ragen aus dem Wasser heraus.

Für Salzwasser: {\large {{\rho }_{Ozean}}=1,025\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}}

Einsetzen in die hergeleitete Gleichung:

{\large  \begin{array}{l}\frac{0,92\,kg\,\cdot d{{m}^{3}}}{1,025\,kg\,\cdot d{{m}^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\frac{{{V}_{Ozean}}}{{{V}_{Eis}}}\\\frac{{{V}_{Ozean}}}{{{V}_{Eis}}}\,\,=0,9\end{array} }

Im Ozean ragen 10% des Eisbergs aus dem Wasser heraus. 90% des Eisbergs befinden sich unter Wasser.

In der Praxis tauchen die Eisberge etwas wenige tief ein, da die Eisberge nicht vollständig massiv sind. In dem Eis der Eisberge gibt es Lufteinschlüsse.

Beispiel Schifffahrt

Ein Schiff wird im Hafen von Murmansk (Russland, Halbinsel Kola, an der Barentssee) beladen. Das Schiff soll nach Rostock fahren. Der Salzgehalt der Barentssee beträgt ca. 3,5%. Der Salzgehalt der Ostsee beträgt ca. 0,7%. Erläutere, was bei der Beladung des Schiffes beachtet werden muss. Murmansk liegt nördlich des Polarkreises. Entscheide, ob diese Information für die Aufgabe relevant ist.

Tabelle – Salzanteil / Temperatur => Dichte

Bei dieser Aufgabe sind zwei Aspekte zu berücksichtigen, (1) die Temperatur des Wassers und (2) die Dichte des Wassers.

(1) Murmansk liegt nördlich des Polarkreises. Durch den Einfluss des Golfstroms ist der Hafen aber quasi ganzjährig eisfrei. Das Wasser im Hafen von Murmansk wird also deutlich kälter sein, als das Wasser in Rostock. Wir gehen von einer Temperatur von mindestens 4°C aus. Damit können wir die Anomalie des Wassers vernachlässigen. Da das Wasser in Rostock wärmer sein wird, hat es eine geringere Dichte.

(2) Der Salzgehalt in der Barentssee liegt bei 3,5%. Damit ist der Salzgehalt höher, als der im Rostocker Hafen, daher ist auch die Dichte des Wassers in Murmansk größer, als die Dichte des Wassers im Rostocker Hafen.

Da der Auftrieb, den das Schiff erfährt, in Murmansk höher ist, als der in Rostock, muss das ggf. bei der Beladung des Schiffes berücksichtigt werden. Das Schiff wird in Rostock einen größeren Tiefgang haben.

Es sind also beide Infos, sowohl die zur Dichte, als auch die zur geographischen Lage sinnvoll und notwendig.

Beispiel - Heliumballon

Ein Heliumballon hat ein Volumen von V=4000 m3. Berechne die Masse, die mit Hilfe des Ballons transportiert werden kann.

{\large \displaystyle \begin{array}{l}geg.:\,V\,=\,4000\,{{m}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,ges.:\,m\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\rho }_{He}}=0,00018\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}\,;\,{{\rho }_{Luft}}=0,00129\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}\end{array}  }

Lösung:

Um die Masse zu berechnen, die mit dem Ballon transportiert werden kann, benötigen wir die Auftriebskraft des Ballons. Zunächst rechnen wir die Einheiten der Dichte um.

{\large \displaystyle \begin{array}{l}{{\rho }_{He}}=0,00018\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}\,=0,18\,\frac{kg}{{{m}^{3}}}\\{{\rho }_{Luft}}=0,00129\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}\,=\,1,29\,\frac{kg}{{{m}^{3}}}\end{array} }

Die Gewichtskraft FG, die der Ballon heben kann, setzt sich aus der Differenz Gewichtskräfte der Verdrängten Luft FLuft und der Gewichtskraft des Heliums FHe zusammen. Die Masse des Ballonmaterials bleibt hier unberücksichtigt.

{\large \begin{array}{l}{{F}_{G}}=\,{{F}_{Luft}}\,-\,{{F}_{He}}\\{{F}_{G}}=\,{{m}_{Luft}}\cdot g-{{m}_{He}}\cdot g\\{{F}_{G}}=\,{{\rho }_{Luft}}\cdot {{V}_{Luft}}\cdot g-{{\rho }_{He}}\cdot {{V}_{He}}\cdot g\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{V}_{Luft}}={{V}_{He}}=V\\{{F}_{G}}=V\cdot g\cdot \left( {{\rho }_{Luft}}-{{\rho }_{He}} \right)\\{{F}_{G}}=\,4000\,{{m}^{3}}\cdot 10\frac{N}{kg}\cdot \left( 1,29\,\frac{kg}{{{m}^{3}}}-0,18\,\frac{kg}{{{m}^{3}}} \right)\\{{F}_{G}}=40000\,\frac{{{m}^{3}}\cdot N}{kg}\,\cdot 1,11\,\frac{kg}{{{m}^{3}}}\\{{F}_{G}}=\,44400\,N\\m=\frac{{{F}_{G}}}{g}\,=4440\,kg\end{array}    }

Wenn der Ballon mit Helium gefüllt ist, könnte er eine Masse von 4440 kg heben.

Archimedes und die Krone des Königs - „Heureka“

… ist in Arbeit. Bis dahin werdet ihr hier fündig.