Innenwinkelsumme Dreiecke

Schlagwörter: Winkel, Winkel Messen, Innenwinkel, Summe der Innenwinkel, Innenwinkelsumme, Dreieck

Es gibt verschiedene Dreiecke.

Wie unterscheiden sich die Winkel in den Dreiecken? Gibt es Gemeinsamkeiten?

Die Messungen in verschiedenen Dreiecken zeigen, dass die Summe der Winkel immer 180° beträgt. Ist das Zufall, oder können wir zeigen, dass die Summe der Innenwinkel von Dreiecken immer 180° beträgt?

In der folgenden GeoGebra Animation könnt ihr die Lage der Punkte A, B und C variieren. Beachte, wie sich die Winkel ändern.

GeoGebra

Summe der Innenwinkel

Wir können beweisen, dass die Innenwinkelsumme von Dreiecken stets 180° beträgt.

  1. Wir verlängern die Seiten a und b über den Punkt C hinaus.
  2. Dann zeichnen wir eine Parallele zur Seite c durch den Punkt C.
  3. Wir zeichnen den Scheitelwinkel γ2 zum Winkel γ
  4. Wir zeichnen die Stufenwinkel zu α und ß ein.

Die Gerade h ist parallel zur Seite c. Da Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen gleich groß sind gilt:

  • α = α2
  • ß = ß2

γ und γ2 sind Scheitelwinkel. Damit gilt:

  • γ = γ2

An der Zeichnung erkennen wir, dass α2 + ß2 + γ2 einen gestreckten Winkel bilden. Damit haben wir gezeigt, dass die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck stets 180° groß ist.

Satz: In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel stets 180°.