Quadratische Funktionen – Scheitelpunktform
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Wir können quadratische Gleichungen in verschiedenen Formen angeben. Eine Form ist die Scheitelpunktform.
Bei der Scheitelpunktform ist der Scheitelpunkt der Parabel die Basis der Betrachtung. Um das zu überprüfen, betrachten wir jeweils nur ein Parameter den wir ändern.
1. Parameter c – Verschiebung längs der y-Achse
Der fettgedruckte rote Graph stellt die Normalparabel dar. ►01 Wenn wir die Normalparabel längs der y-Achse verschieben, dann entspricht das einem Verschieben nach oben oder nach unten.
Der Parameter c gibt dabei an, um wie viele Einheiten die Parabel verschoben wird.
Die Verschiebung lässt sich mit der folgenden Gleichung darstellen:
f(x) = x2 + c
2. Parameter d – Verschiebung längs der x-Achse
Wenn wir die Normalparabel längs der x-Achse verschieben, dann entspricht das einem Verschieben nach links oder nach rechts.
Der Parameter d gibt dabei an, um wie viele Einheiten die Parabel verschoben wird.
Das Minuszeichen vor dem d steht dort, um die Verschiebung als positiven Wert angeben zu können. Das wird in den Tabellen ►03/04 deutlich.
Wenn f(x) = (x+1)2 , dann könnten wir (x+1) durch eine andere Variable, z.B. t ersetzen bzw. substituieren.
- f(x) = (x+1)²
- und t = x+1
- dann f(t) = t²
Wenn f(x) = (x-2)2 , dann könnten wir (x-2) durch eine andere Variable, z.B. s ersetzen bzw. substituieren.
- f(x) = (x-2)²
- und s = x-2
- dann f(s) = s²
Wir erkennen, dass wir für f(s) eine Normalparabel erhalten. Unser Koordinatensystem ist um zwei Stellen nach links verschoben. Das jeweilige x wird zwei Einheiten später erreicht.
3. Änderung der Parabelform – Streckung und Stauchung – Parameter a
Neben der Verschiebung der Normalparabel in x- und y-Richtung, können wir diese auch strecken, stauchen und spiegeln.
►05 zeigt die Normalparabel f(x)=x2 .
Wenn wir die Gleichung durch den Parameter a ergänzen, dann wird die Parabel
- Normalparabel a=1
- Gestreckt |a|>1
- Gestaucht |a|<1
- Gespiegelt a<0
Die Koordinaten des Scheitelpunktes ändern sich bei einer Variation von a nicht.
Für a=0 nehmen alle Funktionswerte den Wert 0 an. Die Parabel verläuft auf der x-Achse.
Geogebra - Variation der Parameter c und d
4. Änderung der Parameter a, c und d
Wenn wir die Parameter d, c und a ändern, dann
- (d) Verschiebung längs der y-Achse
- (c) Verschiebung längs der x-Achse
- (a) Streckung oder Stauchung und ggf. Spiegelung der Normalparabel
Die folgende GeoGebra Animation zeigt den Einfluss der Variation von a, c und d auf den Verlauf der Parabel.
Begriffe
Parameter: Wenn wir in der Mathematik von einem Parameter sprechen, dann ist damit eine Größe gemeint, die den Verlauf des Graphen ändert.
Beispiel: f(x)=a⋅x2
x ist hier die Variable. Das wird an der Schreibweise f(x) deutlich. a bezeichnen wir als Parameter. Er wird vor der Berechnung festgelegt und verändert den Verlauf des Graphen. Für a=1 erhalten wir die Normalparabel. Für a<1 verläuft der Graph steiler, für a<0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.
Als Variable bezeichnen wir die Größe, in deren Abhängigkeit wir etwas darstellen. Sie ist quasi die Laufgröße.
Beispiel: f(x) = 2·x²
x ist die Variable. Wir können eine Wertetabelle aufstellen und f(x) in Abhängigkeit von x berechnen und graphisch darstellen.
Die Normalparabel stellt den Graphen der Funktion f(x)=x2 dar.