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  • signifikante Stellen

signifikant - bedeutsam (lat.)

Jede Messung einer physikalischen Größe ist immer mit einem Fehler behaftet, d.h. die erhaltenen Messwerte weichen mehr oder weniger stark vom wahren Wert ab. Wird mit diesen Werten weitergerechnet, so sind auch die folgenden Ergebnisse ungenau. Das bedeutet, dass das Ergebnis nicht genauer sein kann, als der ungenaueste Messwert.

 

  • Ist es daher sinnvoll ein berechnetes Ergebnis mit beliebiger Genauigkeit anzugeben?

 

Nein ! Es ist nicht sinnvoll. Es ist sogar falsch, da die Angabe von vielen signifikanten Stellen eine nicht vorhandene Genauigkeit suggeriert.

 

Beispiel:  

Ihr fahrt mit dem Fahrrad eine Strecke von 10 km und benötigt dafür 45 min, also  ¾ h. Berechne die Geschwindigkeit!

Die Strecke von 10km habt ihr eurem Streckenzähler entnommen. Er zeigt eine Genauigkeit von 100m = 0,1km an. Strecke s = 10,0 km. Bis zur Stelle 100m bzw. 0,1km könnt ihr die Streckenlänge angeben, also drei signifikante Stellen.         s = (10,0 ± 0,1) km/h

Die Zeit habt Ihr mit eurer Uhr gemessen. Diese zeigt nur die Minuten, nicht die Sekunden an.

Zeit t = 45 min, also zwei signifikante Stellen.    t = (45 ± 1) min

 

Euer Ergebnis darf also höchstens zwei signifikante Stellen haben!

 

10 km : ¾ h = 13,3333333333... km/h

Da das Ergebnis nur zwei signifikante Stellen haben darf lautet die Antwort:

Die Geschwindigkeit beträgt 13 km/h .

Die Angabe des Fehlerbereiches ist in Arbeit    .............

 

  • Beispiele für signifikante Stellen:

    • 2,56                           3 signifikante Stellen

    • 0,000016                     2 signifikante Stellen

    • 0,003                          1 signifikante Stelle

    • 2 * 107                        1 signifikante Stelle

    • 2,0 * 107                      2 signifikante Stellen

    • 20060                          5 signifikante Stellen

    • 1,3 * 10-23                   2 signifikante Stellen

 

 

Signifikante Stellen haben nichts mit der Anzahl  der Nachkommastellen zu tun.

0,45 kg  hat zwei Nachkommastellen, ist aber wie ihr sicher schnell erkennt, nicht so genau wie 452g oder aber 452310mg.

Messwert signifikante Stellen
0,45 kg 2
452g 3
452310mg. 6

 

  • Ist es sinnvoll die Zahl der signifikanten Stellen für alle Experimente vorzugeben?
    • In jedem Experiment verwendet ihr verschiedene Messapparaturen verschiedener Güte.
    • In verschiedenen Experimenten werden verschieden viele Messwerte unterschiedlich mathematisch verknüpft (additiv, multiplikativ, exponentiell), also werden sich Messfehler unterschiedlich niederschlagen. (s. Fehlerfortpflanzung)
    • ...

    d.h.          die  Zahl  signifikanter  Stellen  ergibt  sich  aus  dem  Experiment !

 

weitere Beispiele:

  • Mit einem Lineal kann eine Strecke auf 1mm Genauigkeit gemessen werden. Die Strecke hat also eine Länge von 10,0cm. Hier muss die Dezimalstelle mit angegeben werden um die Genauigkeit der Messung zu zeigen. 

  • Die Fallzeit einer Kugel wird

    1. mit einer Stoppuhr (digital - Anzeige bis 1/100 s )

    2. mit einer Lichtschranke   (digital - 1/1000 s)              gemessen 

    zu a)

    Über die Fallzeit soll die Fallhöhe bestimmt werden. Reibungseinflüsse bleiben unberücksichtigt.

    Die Messung mit der Stoppuhr unterliege drei Fehlern:

    • Durch die Digitalisierung ist die letzte Stelle gerundet, d.h.     t = (1,49 ± 0,01)s

    • Es kann eine Reaktionszeit von 0,2s angenommen werden.

    • das Messgerät, hier die Uhr, ist ungenau. Da uns hierzu keine Angaben vorliegen, schätzen wir den Fehler auf 2%. 2% von 1,49s entspricht ca. 0,03s.

      Es ergibt sich in der Addition ein Fehler von 0,24s.   Vor dem Hintergrund dieses Fehlers ist die Angabe der dritten signifikanten Stelle nicht sinnvoll.             Þ           t = (1,5 ± 0,3)s

 

 
   
Bei diese Fehlergröße ist es nicht sinnvoll, weder den Fehler, noch das Ergebnis mit drei signifikanten Stellen anzugeben.

 

   

s = (11 ± 4)m

oder

s = 11 m ± 35%

Es macht also keinen Sinn, alle Stellen die der Taschenrechner angibt auch im Ergebnis aufzuschreiben!

 

zu b)

Über die Fallzeit soll die Fallhöhe bestimmt werden. Reibungseinflüsse bleiben unberücksichtigt.

Anzeigewert: 1,415s

Die Messung mit der Lichtschranke unterliege zwei Fehlern:

  • Durch die Digitalisierung ist die letzte Stelle gerundet, d.h.     t = (1,415 ± 0,001)s

  • das Messgerät ist ungenau. Da uns hierzu keine Angaben vorliegen, schätzen wir den Fehler auf 1%. 1% von 1,415s entspricht ca. 0,001415s = 1,415ms.

    Es ergibt sich in der Addition ein Fehler von 0,0025s = 2,5ms.   Vor dem Hintergrund dieses Fehlers ist die Angabe der dritten signifikanten Stelle nicht sinnvoll.             Þ           t = (1,415 ± 0,0025)s

     

Weiter in Arbeit .....

 

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